本世紀(jì)70年代初，美國普林斯頓大學(xué)的生態(tài)學(xué)家R·May在研究昆蟲群體繁殖規(guī)律時(shí)提出一個(gè)的模型： χ[n＋1]=k＊χ[n]＊(1－χ[n])

　　其中χ[n]表示第n代群體的數(shù)目。當(dāng)給定一個(gè)初始的χ[0]值，然后不停地迭代，人們發(fā)現(xiàn)隨著k值的不同，得到的序列χn 有許多有趣的現(xiàn)象。當(dāng)k值介于0與1之間時(shí)，χ[n]經(jīng)過一定次數(shù)的迭代后都趨于0。當(dāng)k值介于1和3之間時(shí)趨于1/k，當(dāng)k值大于3時(shí)，經(jīng)過一定次數(shù)的迭代后χ[n]在2個(gè)值之間交替變化，k值增加到3.449附近時(shí)，交替變化值又變?yōu)?個(gè)。繼續(xù)增加k值，χ[n]交替變化的值的個(gè)數(shù)依4→8→16→32的次序迅速加倍，終于一片混沌。但當(dāng)k值在3.835附近時(shí)，經(jīng)過一定次數(shù)的迭代后，χ[n]非常簡單地在3個(gè)值之間交替變化，接著又迅速依3→6→12的次序迅速增長。如此反復(fù)，在簡單的方程中隱藏著令人驚奇的復(fù)雜性。χ[n]隨k的變化情況如下圖所示：

　　為了體現(xiàn)這種復(fù)雜之中的無窮奧妙，下面這個(gè)用TC2.0編寫的小程序用χ[n]大小來控制PC喇叭的發(fā)音頻率，設(shè)定不同的k值，我們就可以聆聽到混沌的聲音。
　　＃include
　　＃include
　　main(){
　　int fMin=20,fMax=16000; /＊fMin代表頻率，fMax代表頻率＊/
　　int fDis,i,j; /＊fDis代表頻率和頻率之間的差值＊/
　　/＊i,j用于循環(huán)記數(shù)＊/
　　float x=0.1,k; /＊x代表x[n]的大小，設(shè)定其初始值為0.1，即x[0]=0.1＊/
　　fDis=fMax－fMin;
　　for(j=1;;j＋＋){
　　printf("Please input The value of k(1－4.0)\n"); /＊輸入k值＊/
　　printf("If you want to quit,Please input:0\n"); /＊如果k=0退出＊/
　　scanf("％f",＆k);
　　if (k==0) break;
　　for(i=1;i<100;i＋＋) /＊去除開始的100個(gè)點(diǎn)＊/
　　x=k＊x＊(1－x);
　　for (i=1;i<100;i＋＋){
　　x=k＊x＊(1－x); /＊計(jì)算x的值＊/
　　sound(x＊fDis＋20); /＊用x的值控制PC喇叭的發(fā)音頻率＊/
　　delay(1000); }
　　nosound(); }}

　　執(zhí)行上面的小程序時(shí)，k值就相當(dāng)于一個(gè)“調(diào)音旋鈕”。當(dāng)將k值設(shè)定在1與3之間時(shí)，喇叭里傳出的只有一個(gè)音調(diào)，重復(fù)又煩人。當(dāng)k值稍稍大于3時(shí)，便開始有了韻律：so－mi－so－mi…。k值增加到3.449時(shí)，變成了so－fa－la－mi－so－fa－la－mi…，再增加k值，韻律更加復(fù)雜，終于成了現(xiàn)代抽象派作曲家的音樂作品。但是韻律并不是隨著k值的增加無限地復(fù)雜下去。在k值增加到3.835時(shí)，音調(diào)又變成了mi－so－ti－mi－so－ti…，再增加k值又迅速地變得更加復(fù)雜。
不停地改變k值，仔細(xì)聆聽，會(huì)聽到混沌中的無限奧妙。